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1+cos^2(x)=sin^4(x)

Solução

1 + cos^{2} (x) = sin^{4} (x)

Solução

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graus

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

1 + cos^{2} (x) = sin^{4} (x)

Subtrair

sin^{4} (x)

de ambos os lados

1 + cos^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 + cos^{2} (x) - sin^{4} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + 1 - sin^{2} (x) - sin^{4} (x)

Simplificar

= - sin^{4} (x) - sin^{2} (x) + 2

2 - sin^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

Usando o método de substituição

2 - sin^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

2 - u^{2} - u^{4} = 0

2 - u^{2} - u^{4} = 0 : u = 2 i, u = - 2 i, u = 1, u = - 1

2 - u^{2} - u^{4} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{4} - u^{2} + 2 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

- v^{2} - v + 2 = 0

Resolver

- v^{2} - v + 2 = 0 : v = - 2, v = 1

- v^{2} - v + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- v^{2} - v + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = - 1, c = 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{2} = 3

= 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )}, v_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )}

v = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )} : - 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 \cdot 1}

Somar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= - 2

v = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 \cdot 1}

Subtrair:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = - 2, v = 1

v = - 2, v = 1

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = - 2 : u = 2 i, u = - 2 i

u^{2} = - 2

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = - 2, u = - - 2

Simplificar

- 2 : 2 i

- 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= 2 i

Simplificar

- - 2 : - 2 i

- - 2

Simplificar

- 2 : 2 i

- 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= 2 i

= - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

Resolver

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar a regra

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

As soluções são

u = 2 i, u = - 2 i, u = 1, u = - 1

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = 2 i, sin (x) = - 2 i, sin (x) = 1, sin (x) = - 1

sin (x) = 2 i, sin (x) = - 2 i, sin (x) = 1, sin (x) = - 1

sin (x) = 2 i :

Sem solução

sin (x) = 2 i

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

sin (x) = - 2 i :

Sem solução

sin (x) = - 2 i

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluções gerais para

sin (x) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluções gerais para

sin (x) = - 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Exemplos populares

cos(t)=cos(2t)

cos (t) = cos (2 t)

arctan(x+2)=arcsin(7/25)+arccos(4/5)

arctan (x + 2) = arcsin (\frac{7}{25}) + arccos (\frac{4}{5})

sec(a)= 38/13

sec (a) = \frac{38}{13}

tan(c)=0.6538

tan (c) = 0.6538

(sec^2(a))cos^2(a)=sin^2(a)

(sec^{2} (a)) cos^{2} (a) = sin^{2} (a)