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3sinh(2x)=5

解答

3 sinh (2 x) = 5

解答

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

+1

度数

x = 36.77803 \dots^{\circ}

求解步骤

3 sinh (2 x) = 5

使用三角恒等式改写

3 sinh (2 x) = 5

使用双曲函数恒等式:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5 : x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5

使用指数运算法则

3 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 5

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 5

3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 5

用

e^{x} = u

改写方程式

3 \cdot \frac{( u ) ^{2} - ( u ) ^{- 2}}{2} = 5

解

3 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} = 5 : u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

3 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} = 5

整理后得

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} = 5

在两边乘以

u^{2}

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} = 5

在两边乘以

u^{2}

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} u^{2} = 5 u^{2}

化简

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2}

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2}

解

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2} : u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2}

在两边乘以

2

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} = 5 u^{2}

在两边乘以

2

\frac{3 ( u ^{4} - 1 )}{2} \cdot 2 = 5 u^{2} \cdot 2

化简

3 (u^{4} - 1) = 10 u^{2}

3 (u^{4} - 1) = 10 u^{2}

展开

3 (u^{4} - 1) : 3 u^{4} - 3

3 (u^{4} - 1)

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = u^{4}, c = 1

= 3 u^{4} - 3 \cdot 1

数字相乘:

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{4} - 3

3 u^{4} - 3 = 10 u^{2}

将

10 u^{2}

para o lado esquerdo

3 u^{4} - 3 = 10 u^{2}

两边减去

10 u^{2}

3 u^{4} - 3 - 10 u^{2} = 10 u^{2} - 10 u^{2}

化简

3 u^{4} - 3 - 10 u^{2} = 0

3 u^{4} - 3 - 10 u^{2} = 0

改写成标准形式

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

3 u^{4} - 10 u^{2} - 3 = 0

用

v = u^{2}

和

v^{2} = u^{4}

改写方程式

3 v^{2} - 10 v - 3 = 0

解

3 v^{2} - 10 v - 3 = 0 : v = \frac{5 + 34}{3}, v = \frac{5 - 34}{3}

3 v^{2} - 10 v - 3 = 0

使用求根公式求解

3 v^{2} - 10 v - 3 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 3, b = - 10, c = - 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 3 )}{2 \cdot 3}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 3 )}{2 \cdot 3}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 3 (- 3) = 234

(- 10)^{2} - 4 \cdot 3 (- 3)

使用法则

- (- a) = a

= (- 10)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

数字相乘:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 1 0^{2} + 36

1 0^{2} = 100

= 100 + 36

数字相加:

100 + 36 = 136

= 136

136

质因数分解:

2^{3} \cdot 17

136

136

除以

2136 = 68 \cdot 2

= 2 \cdot 68

68

除以

268 = 34 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 34

34

除以

234 = 17 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17

2, 17

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17

= 2^{3} \cdot 17

= 2^{3} \cdot 17

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 17

使用根式运算法则:

= 2^{2} 2 \cdot 17

使用根式运算法则:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 17

整理后得

= 234

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 2 34}{2 \cdot 3}

将解分隔开

v_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 2 34}{2 \cdot 3}, v_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 2 34}{2 \cdot 3}

v = \frac{- ( - 10 ) + 2 34}{2 \cdot 3} : \frac{5 + 34}{3}

\frac{- ( - 10 ) + 2 34}{2 \cdot 3}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{10 + 2 34}{2 \cdot 3}

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{10 + 2 34}{6}

分解

10 + 234 : 2 (5 + 34)

10 + 234

改写为

= 2 \cdot 5 + 234

因式分解出通项

2

= 2 (5 + 34)

= \frac{2 ( 5 + 34 )}{6}

约分:

2

= \frac{5 + 34}{3}

v = \frac{- ( - 10 ) - 2 34}{2 \cdot 3} : \frac{5 - 34}{3}

\frac{- ( - 10 ) - 2 34}{2 \cdot 3}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{10 - 2 34}{2 \cdot 3}

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{10 - 2 34}{6}

分解

10 - 234 : 2 (5 - 34)

10 - 234

改写为

= 2 \cdot 5 - 234

因式分解出通项

2

= 2 (5 - 34)

= \frac{2 ( 5 - 34 )}{6}

约分:

2

= \frac{5 - 34}{3}

二次方程组的解是:

v = \frac{5 + 34}{3}, v = \frac{5 - 34}{3}

v = \frac{5 + 34}{3}, v = \frac{5 - 34}{3}

代回

v = u^{2}

，求解

u

解

u^{2} = \frac{5 + 34}{3} : u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

u^{2} = \frac{5 + 34}{3}

对于

x^{2} = f (a)

解为

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

解

u^{2} = \frac{5 - 34}{3} : u \in R

无解

u^{2} = \frac{5 - 34}{3}

x^{2}

在

x

内不能为负

\in R

u \in R 无解

解为

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = 0

取

3 \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2}

的分母，令其等于零

解

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

使用法则

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

以下点无定义

u = 0

将不在定义域的点与解相综合:

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

u = \frac{5 + 34}{3}, u = - \frac{5 + 34}{3}

代回

u = e^{x}

，求解

x

解

e^{x} = \frac{5 + 34}{3} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

e^{x} = \frac{5 + 34}{3}

使用指数运算法则

e^{x} = \frac{5 + 34}{3}

使用指数法则:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{5 + 34}{3} = (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}}

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}}

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}}

使用对数计算法则:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (\frac{5 + 34}{3})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

解

e^{x} = - \frac{5 + 34}{3} : x \in R

无解

e^{x} = - \frac{5 + 34}{3}

a^{f (x)}

对于

x

不能为零或负值

\in R

x \in R 无解

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{5 + 34}{3})

流行的例子

sin(x/(25.4))=35

sin (\frac{x}{25.4}) = 35

2/3 =(sin(x))/(sin(135))

\frac{2}{3} = \frac{sin ( x )}{sin ( 13 5 ^{\circ} )}

sin(x)+2(cos(x))^2=1

sin (x) + 2 (cos (x))^{2} = 1

a sin (2 θ) = 0

cos(2x)=0,x<= 2pi,0

cos (2 x) = 0, x \leq 2 π, 0