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tan(x)=3tan(1/2 x)

Lösung

tan (x) = 3 tan (\frac{1}{2} x)

Lösung

x = 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan (x) = 3 tan (\frac{1}{2} x)

Subtrahiere

3 tan (\frac{1}{2} x)

von beiden Seiten

tan (x) - 3 tan (\frac{x}{2}) = 0

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

tan (2 u) - 3 tan (u) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (2 u) - 3 tan (u)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} - 3 tan (u)

Vereinfache

\frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} - 3 tan (u) : \frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

\frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} - 3 tan (u)

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 tan (u) = \frac{3 tan ( u ) ( 1 - tan ^{2} ( u ) )}{1 - tan ^{2} ( u )}

= \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} - \frac{3 tan ( u ) ( 1 - tan ^{2} ( u ) )}{1 - tan ^{2} ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( u ) - 3 tan ( u ) ( 1 - tan ^{2} ( u ) )}{1 - tan ^{2} ( u )}

Multipliziere aus

2 tan (u) - 3 tan (u) (1 - tan^{2} (u)) : - tan (u) + 3 tan^{3} (u)

2 tan (u) - 3 tan (u) (1 - tan^{2} (u))

Multipliziere aus

- 3 tan (u) (1 - tan^{2} (u)) : - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

- 3 tan (u) (1 - tan^{2} (u))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3 tan (u), b = 1, c = tan^{2} (u)

= - 3 tan (u) \cdot 1 - (- 3 tan (u)) tan^{2} (u)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 \cdot tan (u) + 3 tan^{2} (u) tan (u)

Vereinfache

- 3 \cdot 1 \cdot tan (u) + 3 tan^{2} (u) tan (u) : - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

- 3 \cdot 1 \cdot tan (u) + 3 tan^{2} (u) tan (u)

3 \cdot 1 \cdot tan (u) = 3 tan (u)

3 \cdot 1 \cdot tan (u)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 tan (u)

3 tan^{2} (u) tan (u) = 3 tan^{3} (u)

3 tan^{2} (u) tan (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (u) tan (u) = tan^{2 + 1} (u)

= 3 tan^{2 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 3 tan^{3} (u)

= - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

= - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

= 2 tan (u) - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

Addiere gleiche Elemente:

2 tan (u) - 3 tan (u) = - tan (u)

= - tan (u) + 3 tan^{3} (u)

= \frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

= \frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

\frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = 0

Löse mit Substitution

\frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = 0

Angenommen:

tan (u) = u

\frac{- u + 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{- u + 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

\frac{- u + 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- u + 3 u^{3} = 0

Löse

- u + 3 u^{3} = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

- u + 3 u^{3} = 0

Faktorisiere

- u + 3 u^{3} : u (3 u + 1) (3 u - 1)

- u + 3 u^{3}

Klammere gleiche Terme aus

u : u (3 u^{2} - 1)

3 u^{3} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 3 u^{2} u - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (3 u^{2} - 1)

= u (3 u^{2} - 1)

Faktorisiere

3 u^{2} - 1 : (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

Schreibe

3 u^{2} - 1

um:

(3 u)^{2} - 1^{2}

3 u^{2} - 1

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= u (3 u + 1) (3 u - 1)

u (3 u + 1) (3 u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or 3 u + 1 = 0 or 3 u - 1 = 0

Löse

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

3 u = - 1

3 u = - 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u = - 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Rationalisiere

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

Löse

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

3 u = 1

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

Die Lösungen sind

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 1, u = - 1

Nimm den/die Nenner von

\frac{- u + 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - u^{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 1, u = - 1

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Setze in

u = tan (u)

ein

tan (u) = 0, tan (u) = - \frac{3}{3}, tan (u) = \frac{3}{3}

tan (u) = 0, tan (u) = - \frac{3}{3}, tan (u) = \frac{3}{3}

tan (u) = 0 : u = πn

tan (u) = 0

Allgemeine Lösung für

tan (u) = 0

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = 0 + πn

u = 0 + πn

Löse

u = 0 + πn : u = πn

u = 0 + πn

0 + πn = πn

u = πn

u = πn

tan (u) = - \frac{3}{3} : u = \frac{5 π}{6} + πn

tan (u) = - \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{5 π}{6} + πn

u = \frac{5 π}{6} + πn

tan (u) = \frac{3}{3} : u = \frac{π}{6} + πn

tan (u) = \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (u) = \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{π}{6} + πn

u = \frac{π}{6} + πn

Kombiniere alle Lösungen

u = πn, u = \frac{5 π}{6} + πn, u = \frac{π}{6} + πn

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

\frac{x}{2} = πn : x = 2 πn

\frac{x}{2} = πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 πn

Vereinfache

x = 2 πn

x = 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + πn : x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6} + πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn : \frac{5 π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} = \frac{5 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{6}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{6}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + πn : x = \frac{π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{6} + πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn : \frac{π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

2 \cdot \frac{π}{6}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{3}

= \frac{π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn

x = 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos(t)=(-5)/(13), 1/2 pi<t<pi

cos (t) = \frac{- 5}{13}, \frac{1}{2} π < t < π

31.91cos(x)=20.48

31.91 cos (x) = 20.48

7sin(x)+7sin(x)tan(x)=0

7 sin (x) + 7 sin (x) tan (x) = 0

0=cos(20t)-cos(20.02t)

0 = cos (20 t) - cos (20.02 t)

2tan(2x-10)=3.4641

2 tan (2 x - 10) = 3.4641