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cosh(x-1)=2

Solution

cosh (x - 1) = 2

Solution

x = ln (e (2 + 3)), x = ln (e (2 - 3))

Degrés

x = 132.75190 \dots^{\circ}, x = - 18.16034 \dots^{\circ}

étapes des solutions

cosh (x - 1) = 2

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cosh (x - 1) = 2

Use the Hyperbolic identity:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} = 2

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} = 2

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} = 2 : x = ln (e (2 + 3)), x = ln (e (2 - 3))

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} = 2

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{e ^{x - 1} + e ^{- (x - 1)}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2

Simplifier

e^{x - 1} + e^{- (x - 1)} = 4

Appliquer les règles des exposants

e^{x - 1} + e^{- (x - 1)} = 4

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

e^{x - 1} = e^{x} e^{- 1}, e^{- (x - 1)} = e^{- 1 x} e^{1}

e^{x} e^{- 1} + e^{- 1 \cdot x} e^{1} = 4

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- 1 x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} e^{- 1} + (e^{x})^{- 1} e^{1} = 4

e^{x} e^{- 1} + (e^{x})^{- 1} e^{1} = 4

Récrire l'équation avec

e^{x} = u

u e^{- 1} + (u)^{- 1} e^{1} = 4

Résoudre

u e^{- 1} + u^{- 1} e^{1} = 4 : u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

u e^{- 1} + u^{- 1} e^{1} = 4

Redéfinir

\frac{1}{e} u + \frac{e}{u} = 4

Multiplier par le PPCM

\frac{1}{e} u + \frac{e}{u} = 4

Trouver le plus petit commun multiple de

e, u : e u

e, u

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

e

ou dans

u

= e u

Multipier par PPCM =

e u

\frac{1}{e} u e u + \frac{e}{u} e u = 4 e u

Simplifier

\frac{1}{e} u e u + \frac{e}{u} e u = 4 e u

Simplifier

\frac{1}{e} u e u : u^{2}

\frac{1}{e} u e u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= \frac{1}{e} e u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= \frac{1}{e} e u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 e}{e} u^{2}

Annuler le facteur commun :

e

= u^{2} \cdot 1

Multiplier:

u^{2} \cdot 1 = u^{2}

= u^{2}

Simplifier

\frac{e}{u} e u : e^{2}

\frac{e}{u} e u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{ee u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= ee

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= e^{2}

u^{2} + e^{2} = 4 e u

u^{2} + e^{2} = 4 e u

u^{2} + e^{2} = 4 e u

Résoudre

u^{2} + e^{2} = 4 e u : u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

u^{2} + e^{2} = 4 e u

Déplacer

4 e u

vers la gauche

u^{2} + e^{2} = 4 e u

Soustraire

4 e u

des deux côtés

u^{2} + e^{2} - 4 e u = 4 e u - 4 e u

Simplifier

u^{2} + e^{2} - 4 e u = 0

u^{2} + e^{2} - 4 e u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 4 e u + e^{2} = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} - 4 e u + e^{2} = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = - 4 e, c = e^{2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 e ) \pm ( - 4 e ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot e ^{2}}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 e ) \pm ( - 4 e ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot e ^{2}}{2 \cdot 1}

(- 4 e)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot e^{2} = 23 e

(- 4 e)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot e^{2}

(- 4 e)^{2} = 4^{2} e^{2}

(- 4 e)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 4 e)^{2} = (4 e)^{2}

= (4 e)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} e^{2}

4 \cdot 1 \cdot e^{2} = 4 e^{2}

4 \cdot 1 \cdot e^{2}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 4 e^{2}

= 4^{2} e^{2} - 4 e^{2}

4^{2} = 16

= 16 e^{2} - 4 e^{2}

Additionner les éléments similaires :

16 e^{2} - 4 e^{2} = 12 e^{2}

= 12 e^{2}

Appliquer la règle des radicaux :

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= 12 e^{2}

12 = 23

12

Factorisation première de

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux:

= 3 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 23

= 23 e^{2}

Appliquer la règle des radicaux :

en supposant

a \geq 0

e^{2} = e

= 23 e

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 e ) \pm 2 3 e}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 4 e ) + 2 3 e}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 4 e ) - 2 3 e}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 e ) + 2 3 e}{2 \cdot 1} : e (2 + 3)

\frac{- ( - 4 e ) + 2 3 e}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{4 e + 2 3 e}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 e + 2 3 e}{2}

Factoriser

4 e + 23 e : 2 e (2 + 3)

4 e + 23 e

Récrire comme

= 2 \cdot 2 e + 2 e 3

Factoriser le terme commun

2 e

= 2 e (2 + 3)

= \frac{2 e ( 2 + 3 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= e (2 + 3)

u = \frac{- ( - 4 e ) - 2 3 e}{2 \cdot 1} : e (2 - 3)

\frac{- ( - 4 e ) - 2 3 e}{2 \cdot 1}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{4 e - 2 3 e}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 e - 2 3 e}{2}

Factoriser

4 e - 23 e : 2 e (2 - 3)

4 e - 23 e

Récrire comme

= 2 \cdot 2 e - 2 e 3

Factoriser le terme commun

2 e

= 2 e (2 - 3)

= \frac{2 e ( 2 - 3 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= e (2 - 3)

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

u e^{- 1} + u^{- 1} e^{1}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

u = e (2 + 3), u = e (2 - 3)

Resubstituer

u = e^{x},

résoudre pour

x

Résoudre

e^{x} = e (2 + 3) : x = ln (e (2 + 3))

e^{x} = e (2 + 3)

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = e (2 + 3)

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (e (2 + 3))

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (e (2 + 3))

x = ln (e (2 + 3))

Résoudre

e^{x} = e (2 - 3) : x = ln (e (2 - 3))

e^{x} = e (2 - 3)

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = e (2 - 3)

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (e (2 - 3))

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (e (2 - 3))

x = ln (e (2 - 3))

x = ln (e (2 + 3)), x = ln (e (2 - 3))

x = ln (e (2 + 3)), x = ln (e (2 - 3))

Exemples populaires

tan(x)= 7/25

tan (x) = \frac{7}{25}

tan(x)=-1,0<x<2pi

tan (x) = - 1, 0 < x < 2 π

sec^2(x)-2=tan^2(x),0<= x<= 2pi

sec^{2} (x) - 2 = tan^{2} (x), 0 \leq x \leq 2 π

sin(1/2 x)=-1/2

sin (\frac{1}{2} x) = - \frac{1}{2}

4cos(x)-3cos(x)-1=0

4 cos (x) - 3 cos (x) - 1 = 0