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1-2sin(θ)=cos(2θ)

Solução

1 - 2 sin (θ) = cos (2 θ)

Solução

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Graus

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

1 - 2 sin (θ) = cos (2 θ)

Subtrair

cos (2 θ)

de ambos os lados

1 - 2 sin (θ) - cos (2 θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 - cos (2 θ) - 2 sin (θ)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 2 sin (θ)

Simplificar

1 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 2 sin (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

1 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 2 sin (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 1 + 2 sin^{2} (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ))

Colocar os parênteses

= - (1) - (- 2 sin^{2} (θ))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

= 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

- 2 sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Usando o método de substituição

- 2 sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} - 2 u = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

assumindo que

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Somar:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Subtrair:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 1, u = 0

Substituir na equação

u = sin (θ)

sin (θ) = 1, sin (θ) = 0

sin (θ) = 1, sin (θ) = 0

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

Soluções gerais para

sin (θ) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Soluções gerais para

sin (θ) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Exemplos populares

cos(pi)

cos (π)

sec^2(1)

sec^{2} (1)

solvefor x,cos^2(x)-sin^2(x)=sin(x)resolver para

x, cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = sin (x)

arcsin(2)

arcsin (2)

cos(4x)=sin(x)

cos (4 x) = sin (x)