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4cos^2(x)=5+4sin(x),(0,2pi)

Lösung

4 cos^{2} (x) = 5 + 4 sin (x), (0, 2 π)

Lösung

x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

Grad

x = 21 0^{\circ}, x = 33 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (x) = 5 + 4 sin (x), (0, 2 π)

Subtrahiere

5 + 4 sin (x)

von beiden Seiten

4 cos^{2} (x) - 5 - 4 sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 + 4 cos^{2} (x) - 4 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 5 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin (x)

Vereinfache

- 5 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin (x) : - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 1

- 5 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin (x)

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 5 + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 4 = - 1

= - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 1

= - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 1

- 1 - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

(- 4)^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

\frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )} = - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{1}{2}, (0, 2 π) : x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

sin (x) = - \frac{1}{2}, (0, 2 π)

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

(0, 2 π)

x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

Beliebte Beispiele

(sin(S))/(53)=(sin(115))/(83)

\frac{sin ( S )}{53} = \frac{sin ( 11 5 ^{\circ} )}{83}

25sin^2(x)-10sin(x)+1=0

25 sin^{2} (x) - 10 sin (x) + 1 = 0

4-4sin(θ)=2

4 - 4 sin (θ) = 2

1-2cos(x)=sin^2(x)

1 - 2 cos (x) = sin^{2} (x)

cos(x)= 84/98

cos (x) = \frac{84}{98}