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sin(x)(sin(x)-1)=5cos^2(x)-4

Solution

sin (x) (sin (x) - 1) = 5 cos^{2} (x) - 4

Solution

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = - 0.33983 \dots + 2 πn, x = π + 0.33983 \dots + 2 πn

Degrés

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 19.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 199.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin (x) (sin (x) - 1) = 5 cos^{2} (x) - 4

Soustraire

5 cos^{2} (x) - 4

des deux côtés

sin^{2} (x) - sin (x) - 5 cos^{2} (x) + 4 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

4 - sin (x) + sin^{2} (x) - 5 cos^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 4 - sin (x) + sin^{2} (x) - 5 (1 - sin^{2} (x))

Simplifier

4 - sin (x) + sin^{2} (x) - 5 (1 - sin^{2} (x)) : 6 sin^{2} (x) - sin (x) - 1

4 - sin (x) + sin^{2} (x) - 5 (1 - sin^{2} (x))

Développer

- 5 (1 - sin^{2} (x)) : - 5 + 5 sin^{2} (x)

- 5 (1 - sin^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 5 \cdot 1 - (- 5) sin^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 5 \cdot 1 + 5 sin^{2} (x)

Multiplier les nombres :

5 \cdot 1 = 5

= - 5 + 5 sin^{2} (x)

= 4 - sin (x) + sin^{2} (x) - 5 + 5 sin^{2} (x)

Simplifier

4 - sin (x) + sin^{2} (x) - 5 + 5 sin^{2} (x) : 6 sin^{2} (x) - sin (x) - 1

4 - sin (x) + sin^{2} (x) - 5 + 5 sin^{2} (x)

Grouper comme termes

= - sin (x) + sin^{2} (x) + 5 sin^{2} (x) + 4 - 5

Additionner les éléments similaires :

sin^{2} (x) + 5 sin^{2} (x) = 6 sin^{2} (x)

= - sin (x) + 6 sin^{2} (x) + 4 - 5

Additionner/Soustraire les nombres :

4 - 5 = - 1

= 6 sin^{2} (x) - sin (x) - 1

= 6 sin^{2} (x) - sin (x) - 1

= 6 sin^{2} (x) - sin (x) - 1

- 1 - sin (x) + 6 sin^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 1 - sin (x) + 6 sin^{2} (x) = 0

Soit :

sin (x) = u

- 1 - u + 6 u^{2} = 0

- 1 - u + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3}

- 1 - u + 6 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

6 u^{2} - u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 6, b = - 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 1) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

4 \cdot 6 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 24

= 1 + 24

Additionner les nombres :

1 + 24 = 25

= 25

Factoriser le nombre :

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 6}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 6} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 6}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 6}

Additionner les nombres :

1 + 5 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 6}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{12}

Annuler le facteur commun :

6

= \frac{1}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 6}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 6}

Soustraire les nombres :

1 - 5 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 6}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 4}{12}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{12}

Annuler le facteur commun :

4

= - \frac{1}{3}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{3}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{3}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{3} : x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{3}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = - \frac{1}{3}

Solutions générales pour

sin (x) = - \frac{1}{3}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = - 0.33983 \dots + 2 πn, x = π + 0.33983 \dots + 2 πn

Exemples populaires

solvefor v,a=arctan((v^2)/(gR))résoudre pour

v, a = arctan (\frac{v ^{2}}{g R})

3sin^2(x)=4sin(x)

3 sin^{2} (x) = 4 sin (x)

5sin(θ)=4

5 sin (θ) = 4

2cos^2(x)-7cos(x)=0

2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) = 0

2cos^2(x)-7cos(x)=3

2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) = 3