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Beliebt >

sqrt(1-sin^2(x))=e^{1/2 ln(1-cos^2(x))}

Lösung

1 - sin^{2} (x) = e^{\frac{1}{2} l n (1 - c o s^{2} (x))}

Lösung

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grad

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 - sin^{2} (x) = e^{\frac{1}{2} l n (1 - c o s^{2} (x))}

Subtrahiere

e^{\frac{1}{2} l n (1 - c o s^{2} (x))}

von beiden Seiten

1 - sin^{2} (x) - 1 - cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos^{2} (x) + 1 - sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - sin^{2} (x) + 1 - sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

1 - u^{2} - u^{2} = 0

1 - u^{2} - u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - u^{2} - u^{2} = 0

Quadratwurzeln entfernen

1 - u^{2} - u^{2} = 0

Füge

u^{2}

zu beiden Seiten hinzu

1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} = 0 + u^{2}

Vereinfache

1 - u^{2} = u^{2}

Quadriere beide Seiten:

1 - u^{2} = u^{2}

1 - u^{2} - u^{2} = 0

(1 - u^{2})^{2} = (u^{2})^{2}

Schreibe

(1 - u^{2})^{2}

um:

1 - u^{2}

(1 - u^{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - u^{2}

Schreibe

(u^{2})^{2}

um:

u^{2}

(u^{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= u^{2}

1 - u^{2} = u^{2}

1 - u^{2} = u^{2}

1 - u^{2} = u^{2}

Löse

1 - u^{2} = u^{2} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - u^{2} = u^{2}

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - u^{2} = u^{2}

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u^{2} - 1 = u^{2} - 1

Vereinfache

- u^{2} = u^{2} - 1

- u^{2} = u^{2} - 1

Verschiebe

u^{2}

auf die linke Seite

- u^{2} = u^{2} - 1

Subtrahiere

u^{2}

von beiden Seiten

- u^{2} - u^{2} = u^{2} - 1 - u^{2}

Vereinfache

- 2 u^{2} = - 1

- 2 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Vereinfache

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen:

u = \frac{1}{2}

Wahr

, u = - \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

1 - u^{2} - u^{2} = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

u = \frac{1}{2} :

Wahr

1 - (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 0

1 - (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 0

1 - (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}

1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

1 - (\frac{1}{2})^{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(\frac{1}{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{1}{2}

= 1 - \frac{1}{2}

Füge

1 - \frac{1}{2}

zusammen:

\frac{1}{2}

1 - \frac{1}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(\frac{1}{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

= 0

0 = 0

Wahr

Setze ein

u = - \frac{1}{2} :

Wahr

1 - (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = 0

1 - (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = 0

1 - (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2}

1 - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

1 - (- \frac{1}{2})^{2}

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(- \frac{1}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{1}{2}

= 1 - \frac{1}{2}

Füge

1 - \frac{1}{2}

zusammen:

\frac{1}{2}

1 - \frac{1}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(- \frac{1}{2})^{2}

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(- \frac{1}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

= 0

0 = 0

Wahr

Die Lösungen sind

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cot^2(x)=tan(1/2 x)

cot^{2} (x) = tan (\frac{1}{2} x)

cos(C)= 3/4

cos (C) = \frac{3}{4}

cos(x-pi/6)-sin(x)=0

cos (x - \frac{π}{6}) - sin (x) = 0

2+cos^2(x)=-3cos(x)

2 + cos^{2} (x) = - 3 cos (x)

6sec^2(x)+tan(x)-7=0

6 sec^{2} (x) + tan (x) - 7 = 0