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2cot^2(x)-csc^2(x)+csc(x)=4

Lösung

2 cot^{2} (x) - csc^{2} (x) + csc (x) = 4

Lösung

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = - 0.33983 \dots + 2 πn, x = π + 0.33983 \dots + 2 πn

Grad

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 19.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 199.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cot^{2} (x) - csc^{2} (x) + csc (x) = 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

2 cot^{2} (x) - csc^{2} (x) + csc (x) - 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + csc (x) - csc^{2} (x) + 2 cot^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

= - 4 + csc (x) - csc^{2} (x) + 2 (csc^{2} (x) - 1)

Vereinfache

- 4 + csc (x) - csc^{2} (x) + 2 (csc^{2} (x) - 1) : csc^{2} (x) + csc (x) - 6

- 4 + csc (x) - csc^{2} (x) + 2 (csc^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

2 (csc^{2} (x) - 1) : 2 csc^{2} (x) - 2

2 (csc^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = csc^{2} (x), c = 1

= 2 csc^{2} (x) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 csc^{2} (x) - 2

= - 4 + csc (x) - csc^{2} (x) + 2 csc^{2} (x) - 2

Vereinfache

- 4 + csc (x) - csc^{2} (x) + 2 csc^{2} (x) - 2 : csc^{2} (x) + csc (x) - 6

- 4 + csc (x) - csc^{2} (x) + 2 csc^{2} (x) - 2

Addiere gleiche Elemente:

- csc^{2} (x) + 2 csc^{2} (x) = csc^{2} (x)

= - 4 + csc (x) + csc^{2} (x) - 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= csc (x) + csc^{2} (x) - 4 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

- 4 - 2 = - 6

= csc^{2} (x) + csc (x) - 6

= csc^{2} (x) + csc (x) - 6

= csc^{2} (x) + csc (x) - 6

- 6 + csc (x) + csc^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 6 + csc (x) + csc^{2} (x) = 0

Angenommen:

csc (x) = u

- 6 + u + u^{2} = 0

- 6 + u + u^{2} = 0 : u = 2, u = - 3

- 6 + u + u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 6 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + u - 6 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 1, c = - 6

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 6 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 6 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 6

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 6 = 24

= 1 + 24

Addiere die Zahlen:

1 + 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : 2

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 5 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : - 3

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 5 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{2} = 3

= - 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = - 3

Setze in

u = csc (x)

ein

csc (x) = 2, csc (x) = - 3

csc (x) = 2, csc (x) = - 3

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = 2

Allgemeine Lösung für

csc (x) = 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 3 : x = arccsc (- 3) + 2 πn, x = π + arccsc (3) + 2 πn

csc (x) = - 3

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

csc (x) = - 3

Allgemeine Lösung für

csc (x) = - 3

csc (x) = - a \Rightarrow x = arccsc (- a) + 2 πn, x = π + arccsc (a) + 2 πn

x = arccsc (- 3) + 2 πn, x = π + arccsc (3) + 2 πn

x = arccsc (- 3) + 2 πn, x = π + arccsc (3) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = arccsc (- 3) + 2 πn, x = π + arccsc (3) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = - 0.33983 \dots + 2 πn, x = π + 0.33983 \dots + 2 πn

Beliebte Beispiele

2*sin(x)+1=3*cos(x)

2 \cdot sin (x) + 1 = 3 \cdot cos (x)

(sin(θ))/(cos(θ))=0

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0

0=sin(y)

0 = sin (y)

(cot(x))/(sec(x))=sin(x)

\frac{cot ( x )}{sec ( x )} = sin (x)

tan^2(x)-sec^2(x)=cos(-x)

tan^{2} (x) - sec^{2} (x) = cos (- x)