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4sin^2(x)+4cos(x)=5

Solução

4 sin^{2} (x) + 4 cos (x) = 5

Solução

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graus

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

4 sin^{2} (x) + 4 cos (x) = 5

Subtrair

5

de ambos os lados

4 sin^{2} (x) + 4 cos (x) - 5 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 5 + 4 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 + 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 5 + 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

- 5 + 4 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 5 + 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Simplificar

- 5 + 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

- 5 + 4 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 5 + 4

Somar/subtrair:

- 5 + 4 = - 1

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

4^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

4^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrair:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 4}{2 ( - 4 )}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )} = \frac{1}{2}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Eliminar o fator comum:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

A solução para a equação de segundo grau é:

u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Exemplos populares

cot(θ)+1=0,(0,2pi)

cot (θ) + 1 = 0, (0, 2 π)

cos(θ)= 4/(sqrt(3.38^2+4^2))

cos (θ) = \frac{4}{3.3 8 ^{2} + 4 ^{2}}

tan(x-10)=-0.1

tan (x - 1 0^{\circ}) = - 0.1

2(cos(x)+3)=5+cos(x)

2 (cos (x) + 3) = 5 + cos (x)

4cos(3x)-1=2sin(3x)tan(3x)

4 cos (3 x) - 1 = 2 sin (3 x) tan (3 x)