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csc(X)-cot(X)=5

Solução

csc (X) - cot (X) = 5

Solução

X = 2.74680 \dots + 2 πn

Graus

X = 157.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

csc (X) - cot (X) = 5

Subtrair

5

de ambos os lados

csc (X) - cot (X) - 5 = 0

Expresar com seno, cosseno

\frac{1}{sin ( X )} - \frac{cos ( X )}{sin ( X )} - 5 = 0

Simplificar

\frac{1}{sin ( X )} - \frac{cos ( X )}{sin ( X )} - 5 : \frac{1 - cos ( X ) - 5 sin ( X )}{sin ( X )}

\frac{1}{sin ( X )} - \frac{cos ( X )}{sin ( X )} - 5

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{1 - cos ( X )}{sin ( X )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ( X )}{sin ( X )}

= \frac{- cos ( X ) + 1}{sin ( X )} - 5

Converter para fração:

5 = \frac{5 sin ( X )}{sin ( X )}

= \frac{1 - cos ( X )}{sin ( X )} - \frac{5 sin ( X )}{sin ( X )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ( X ) - 5 sin ( X )}{sin ( X )}

\frac{1 - cos ( X ) - 5 sin ( X )}{sin ( X )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - cos (X) - 5 sin (X) = 0

Adicionar

5 sin (X)

a ambos os lados

1 - cos (X) = 5 sin (X)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(1 - cos (X))^{2} = (5 sin (X))^{2}

Subtrair

(5 sin (X))^{2}

de ambos os lados

(1 - cos (X))^{2} - 25 sin^{2} (X) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(1 - cos (X))^{2} - 25 sin^{2} (X)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 - cos (X))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (X))

Simplificar

(1 - cos (X))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (X)) : 26 cos^{2} (X) - 2 cos (X) - 24

(1 - cos (X))^{2} - 25 (1 - cos^{2} (X))

(1 - cos (X))^{2} : 1 - 2 cos (X) + cos^{2} (X)

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (X)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (X) + cos^{2} (X)

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (X) + cos^{2} (X) : 1 - 2 cos (X) + cos^{2} (X)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (X) + cos^{2} (X)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot cos (X) + cos^{2} (X)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 cos (X) + cos^{2} (X)

= 1 - 2 cos (X) + cos^{2} (X)

= 1 - 2 cos (X) + cos^{2} (X) - 25 (1 - cos^{2} (X))

Expandir

- 25 (1 - cos^{2} (X)) : - 25 + 25 cos^{2} (X)

- 25 (1 - cos^{2} (X))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = cos^{2} (X)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) cos^{2} (X)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 cos^{2} (X)

Multiplicar os números:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 cos^{2} (X)

= 1 - 2 cos (X) + cos^{2} (X) - 25 + 25 cos^{2} (X)

Simplificar

1 - 2 cos (X) + cos^{2} (X) - 25 + 25 cos^{2} (X) : 26 cos^{2} (X) - 2 cos (X) - 24

1 - 2 cos (X) + cos^{2} (X) - 25 + 25 cos^{2} (X)

Agrupar termos semelhantes

= - 2 cos (X) + cos^{2} (X) + 25 cos^{2} (X) + 1 - 25

Somar elementos similares:

cos^{2} (X) + 25 cos^{2} (X) = 26 cos^{2} (X)

= - 2 cos (X) + 26 cos^{2} (X) + 1 - 25

Somar/subtrair:

1 - 25 = - 24

= 26 cos^{2} (X) - 2 cos (X) - 24

= 26 cos^{2} (X) - 2 cos (X) - 24

= 26 cos^{2} (X) - 2 cos (X) - 24

- 24 + 26 cos^{2} (X) - 2 cos (X) = 0

Usando o método de substituição

- 24 + 26 cos^{2} (X) - 2 cos (X) = 0

Sea:

cos (X) = u

- 24 + 26 u^{2} - 2 u = 0

- 24 + 26 u^{2} - 2 u = 0 : u = 1, u = - \frac{12}{13}

- 24 + 26 u^{2} - 2 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

26 u^{2} - 2 u - 24 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

26 u^{2} - 2 u - 24 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 26, b = - 2, c = - 24

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 24 )}{2 \cdot 26}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 26 ( - 24 )}{2 \cdot 26}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 26 (- 24) = 50

(- 2)^{2} - 4 \cdot 26 (- 24)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 24

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 24

Multiplicar os números:

4 \cdot 26 \cdot 24 = 2496

= 2^{2} + 2496

2^{2} = 4

= 4 + 2496

Somar:

4 + 2496 = 2500

= 2500

Fatorar o número:

2500 = 5 0^{2}

= 5 0^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

5 0^{2} = 50

= 50

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 50}{2 \cdot 26}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 50}{2 \cdot 26}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 50}{2 \cdot 26}

u = \frac{- ( - 2 ) + 50}{2 \cdot 26} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 50}{2 \cdot 26}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 + 50}{2 \cdot 26}

Somar:

2 + 50 = 52

= \frac{52}{2 \cdot 26}

Multiplicar os números:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{52}{52}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 50}{2 \cdot 26} : - \frac{12}{13}

\frac{- ( - 2 ) - 50}{2 \cdot 26}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 - 50}{2 \cdot 26}

Subtrair:

2 - 50 = - 48

= \frac{- 48}{2 \cdot 26}

Multiplicar os números:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 48}{52}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{48}{52}

Eliminar o fator comum:

4

= - \frac{12}{13}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 1, u = - \frac{12}{13}

Substituir na equação

u = cos (X)

cos (X) = 1, cos (X) = - \frac{12}{13}

cos (X) = 1, cos (X) = - \frac{12}{13}

cos (X) = 1 : X = 2 πn

cos (X) = 1

Soluções gerais para

cos (X) = 1

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

X = 0 + 2 πn

X = 0 + 2 πn

Resolver

X = 0 + 2 πn : X = 2 πn

X = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

X = 2 πn

X = 2 πn

cos (X) = - \frac{12}{13} : X = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, X = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

cos (X) = - \frac{12}{13}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (X) = - \frac{12}{13}

Soluções gerais para

cos (X) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

X = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, X = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

X = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, X = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

X = 2 πn, X = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, X = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

csc (X) - cot (X) = 5

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

2 πn :

Falso

2 πn

Inserir

n = 1

2 π 1

Para

csc (X) - cot (X) = 5

inserir

X = 2 π 1

csc (2 π 1) - cot (2 π 1) = 5

Indefinido

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

Verdadeiro

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

Para

csc (X) - cot (X) = 5

inserir

X = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

csc (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - cot (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

5 = 5

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Inserir

n = 1

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

Para

csc (X) - cot (X) = 5

inserir

X = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

csc (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - cot (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

- 5 = 5

\Rightarrow Falso

X = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

X = 2.74680 \dots + 2 πn

Exemplos populares

3sin(θ)=4cos(θ)

3 sin (θ) = 4 cos (θ)

300=400+200cos((pit)/(12))

300 = 400 + 200 cos (\frac{π t}{12})

-6cos^2(θ)=-cos(θ)-2

- 6 cos^{2} (θ) = - cos (θ) - 2

20^2=13^2+9^2-2(13)(9)*cos(a)

2 0^{2} = 1 3^{2} + 9^{2} - 2 (13) (9) \cdot cos (a)

solvefor t,4cos(2t)+1=3 resolver para

t, 4 cos (2 t) + 1 = 3