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tan(θ)tan(2θ)=1

Lösung

tan (θ) tan (2 θ) = 1

Lösung

θ = 0.52359 \dots + πn, θ = - 0.52359 \dots + πn

Grad

θ = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = - 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan (θ) tan (2 θ) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

tan (θ) tan (2 θ) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + tan (2 θ) tan (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= - 1 + \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} tan (θ)

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} tan (θ) = \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} tan (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( θ ) tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

2 tan (θ) tan (θ) = 2 tan^{2} (θ)

2 tan (θ) tan (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (θ) tan (θ) = tan^{1 + 1} (θ)

= 2 tan^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 tan^{2} (θ)

= \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= - 1 + \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Löse mit Substitution

- 1 + \frac{2 tan ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Angenommen:

tan (θ) = u

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

1 - u^{2}

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

1 - u^{2}

- 1 \cdot (1 - u^{2}) + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 0 \cdot (1 - u^{2})

Vereinfache

- 1 \cdot (1 - u^{2}) + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 0 \cdot (1 - u^{2})

Vereinfache

- 1 \cdot (1 - u^{2}) : - (1 - u^{2})

- 1 \cdot (1 - u^{2})

Multipliziere:

1 \cdot (1 - u^{2}) = (1 - u^{2})

= - (- u^{2} + 1)

Vereinfache

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) : 2 u^{2}

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2})

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ^{2} ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 - u^{2}

= 2 u^{2}

Vereinfache

0 \cdot (1 - u^{2}) : 0

0 \cdot (1 - u^{2})

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

Löse

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2} = 0

Schreibe

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2}

um:

- 1 + 3 u^{2}

- (1 - u^{2}) + 2 u^{2}

- (1 - u^{2}) : - 1 + u^{2}

- (1 - u^{2})

Setze Klammern

= - 1 - (- u^{2})

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + u^{2}

= - 1 + u^{2} + 2 u^{2}

Addiere gleiche Elemente:

u^{2} + 2 u^{2} = 3 u^{2}

= - 1 + 3 u^{2}

- 1 + 3 u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + 3 u^{2} = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + 3 u^{2} + 1 = 0 + 1

Vereinfache

3 u^{2} = 1

3 u^{2} = 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u^{2} = 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u ^{2}}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

u^{2} = \frac{1}{3}

u^{2} = \frac{1}{3}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 1, u = - 1

Nimm den/die Nenner von

- 1 + \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - u^{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 1, u = - 1

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Setze in

u = tan (θ)

ein

tan (θ) = \frac{1}{3}, tan (θ) = - \frac{1}{3}

tan (θ) = \frac{1}{3}, tan (θ) = - \frac{1}{3}

tan (θ) = \frac{1}{3} : θ = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (θ) = \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (θ) = \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = \frac{1}{3}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

θ = arctan (\frac{1}{3}) + πn

θ = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (θ) = - \frac{1}{3} : θ = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

tan (θ) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (θ) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = - \frac{1}{3}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

θ = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

θ = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arctan (\frac{1}{3}) + πn, θ = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.52359 \dots + πn, θ = - 0.52359 \dots + πn

Beliebte Beispiele

csc(x)-sin(x)=cot(x)*csc(x)

csc (x) - sin (x) = cot (x) \cdot csc (x)

sin(x)= 4/3

sin (x) = \frac{4}{3}

sec(x)=-1.8959

sec (x) = - 1.8959

sec^2(2x)=2

sec^{2} (2 x) = 2

1=sin(t)+sqrt(3)cos(t)

1 = sin (t) + 3 cos (t)