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((1+tanh(x))/(1-tanh(x)))^2=2

Lösung

(\frac{1 + tanh ( x )}{1 - tanh ( x )})^{2} = 2

Lösung

x = \frac{1}{4} ln (2)

Grad

x = 9.92860 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

(\frac{1 + tanh ( x )}{1 - tanh ( x )})^{2} = 2

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(\frac{1 + tanh ( x )}{1 - tanh ( x )})^{2} = 2

Hyperbolische Identität anwenden:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2 : x = \frac{1}{4} ln (2)

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2

Wende Exponentenregel an

(\frac{1 + \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}}{1 - \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}})^{2} = 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

\frac{1 + \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}}{1 - \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}}^{2} = 2

\frac{1 + \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}}{1 - \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}}^{2} = 2

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

\frac{1 + \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{u + ( u ) ^{- 1}}}{1 - \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{u + ( u ) ^{- 1}}}^{2} = 2

Löse

(\frac{1 + \frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}}}{1 - \frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}}})^{2} = 2

Fasse zusammen

\frac{4 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 - ( u ^{2} - 1 ) ) ^{2}} = 2

Vereinfache

\frac{4 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 - ( u ^{2} - 1 ) ) ^{2}} : u^{4}

\frac{4 u ^{4}}{( u ^{2} + 1 - ( u ^{2} - 1 ) ) ^{2}}

Multipliziere aus

u^{2} + 1 - (u^{2} - 1) : 2

u^{2} + 1 - (u^{2} - 1)

- (u^{2} - 1) : - u^{2} + 1

- (u^{2} - 1)

Setze Klammern

= - (u^{2}) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - u^{2} + 1

= u^{2} + 1 - u^{2} + 1

Vereinfache

u^{2} + 1 - u^{2} + 1 : 2

u^{2} + 1 - u^{2} + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= u^{2} - u^{2} + 1 + 1

Addiere gleiche Elemente:

u^{2} - u^{2} = 0

= 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2

= 2

= \frac{4 u ^{4}}{2 ^{2}}

Faktorisiere

4 : 2^{2}

Faktorisiere

4 = 2^{2}

= \frac{2 ^{2} u ^{4}}{2 ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2^{2}

= u^{4}

u^{4} = 2

Löse

u^{4} = 2

Für

x^{n} = f (a)

, n ist gerade, die Lösungen sind

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

(\frac{1 + \frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}}}{1 - \frac{u - u ^{- 1}}{u + u ^{- 1}}})^{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

Wende Exponentenregel an

Wende Exponentenregel an:

e^{x} = 2^{\frac{1}{4}}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2^{\frac{1}{4}})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2^{\frac{1}{4}})

Wende die log Regel an:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4} ln (2)

x = \frac{1}{4} ln (2)

x = \frac{1}{4} ln (2)

Löse

Keine Lösung für

x \in R

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = \frac{1}{4} ln (2)

x = \frac{1}{4} ln (2)

Beliebte Beispiele

cos(2x)-cos(-x)=0

cos (2 x) - cos (- x) = 0

cos(3x)=sin(x)

cos (3 x) = sin (x)

4tan^2(θ)=12,0<= θ<2pi

4 tan^{2} (θ) = 12, 0 \leq θ < 2 π

cos^2(x)=1-2sin^2(x)

cos^{2} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

(1+tanh(x))/(1-tanh(x))=2

\frac{1 + tanh ( x )}{1 - tanh ( x )} = 2