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4sec(x)+4tan(x)=4

Solution

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

Solution

x = 2 πn + 2 π

Degrés

x = 36 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

Soustraire

4

des deux côtés

4 sec (x) + 4 tan (x) - 4 = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 4 = 0

Simplifier

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 4 : \frac{4 + 4 sin ( x ) - 4 cos ( x )}{cos ( x )}

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 4

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )} = \frac{4}{cos ( x )}

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{cos ( x )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{cos ( x )}

4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{4 sin ( x )}{cos ( x )}

4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 4}{cos ( x )}

= \frac{4}{cos ( x )} + \frac{4 sin ( x )}{cos ( x )} - 4

Combiner les fractions

\frac{4}{cos ( x )} + \frac{4 sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{4 + 4 sin ( x )}{cos ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 + 4 sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{4 sin ( x ) + 4}{cos ( x )} - 4

Convertir un élément en fraction:

4 = \frac{4 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{4 + sin ( x ) \cdot 4}{cos ( x )} - \frac{4 cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 + sin ( x ) \cdot 4 - 4 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{4 + 4 sin ( x ) - 4 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 + 4 sin (x) - 4 cos (x) = 0

Ajouter

4 cos (x)

aux deux côtés

4 + 4 sin (x) = 4 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(4 + 4 sin (x))^{2} = (4 cos (x))^{2}

Soustraire

(4 cos (x))^{2}

des deux côtés

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x) = 0

Factoriser

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x) : 16 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x))

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x)

Récrire

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x)

comme

(4 + 4 sin (x))^{2} - (4 cos (x))^{2}

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x)

Récrire

16

comme

4^{2}

= (4 + 4 sin (x))^{2} - 4^{2} cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{2} cos^{2} (x) = (4 cos (x))^{2}

= (4 + 4 sin (x))^{2} - (4 cos (x))^{2}

= (4 + 4 sin (x))^{2} - (4 cos (x))^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(4 + 4 sin (x))^{2} - (4 cos (x))^{2} = ((4 + 4 sin (x)) + 4 cos (x)) ((4 + 4 sin (x)) - 4 cos (x))

= ((4 + 4 sin (x)) + 4 cos (x)) ((4 + 4 sin (x)) - 4 cos (x))

Redéfinir

= (4 sin (x) + 4 cos (x) + 4) (4 sin (x) - 4 cos (x) + 4)

Factoriser

4 + 4 sin (x) + 4 cos (x) : 4 (1 + sin (x) + cos (x))

4 + 4 sin (x) + 4 cos (x)

Factoriser le terme commun

4

= 4 (1 + sin (x) + cos (x))

= 4 (sin (x) + cos (x) + 1) (4 sin (x) - 4 cos (x) + 4)

Factoriser

4 + 4 sin (x) - 4 cos (x) : 4 (1 + sin (x) - cos (x))

4 + 4 sin (x) - 4 cos (x)

Factoriser le terme commun

4

= 4 (1 + sin (x) - cos (x))

= 4 (1 + sin (x) + cos (x)) \cdot 4 (1 + sin (x) - cos (x))

Redéfinir

= 16 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x))

16 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

1 + sin (x) + cos (x) = 0 or 1 + sin (x) - cos (x) = 0

1 + sin (x) + cos (x) = 0 : x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) + cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

1 + sin (x) + cos (x)

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Récrire comme

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Utiliser l'identité triviale suivante :

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utiliser l'identité triviale suivante :

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Utiliser l'identité de la somme de l'angle:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= sin (x + \frac{π}{4})

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Solutions générales pour

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Résoudre

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + π

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Déplacer

\frac{π}{4}

vers la droite

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Soustraire

\frac{π}{4}

des deux côtés

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplifier

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplifier

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Additionner les éléments similaires :

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Simplifier

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + π

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Grouper comme termes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Combiner les fractions

- \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : π

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 5 π}{4}

Additionner les éléments similaires :

- π + 5 π = 4 π

= \frac{4 π}{4}

Diviser les nombres :

\frac{4}{4} = 1

= π

= 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

Résoudre

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Déplacer

\frac{π}{4}

vers la droite

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Soustraire

\frac{π}{4}

des deux côtés

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplifier

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplifier

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Additionner les éléments similaires :

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Simplifier

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Grouper comme termes

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Combiner les fractions

- \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 7 π}{4}

Additionner les éléments similaires :

- π + 7 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) - cos (x) = 0 : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

1 + sin (x) - cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

1 + sin (x) - cos (x)

sin (x) - cos (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

sin (x) - cos (x)

Récrire comme

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{2} cos (x))

Utiliser l'identité triviale suivante :

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utiliser l'identité triviale suivante :

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) - sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Utiliser l'identité de la somme de l'angle:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (x - \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x - \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} : sin (x - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= sin (x - \frac{π}{4})

Simplifier

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Simplifier

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Solutions générales pour

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Résoudre

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Déplacer

\frac{π}{4}

vers la droite

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Ajouter

\frac{π}{4}

aux deux côtés

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplifier

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplifier

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Additionner les éléments similaires :

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Simplifier

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Grouper comme termes

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Combiner les fractions

\frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 5 π}{4}

Additionner les éléments similaires :

π + 5 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Résoudre

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + 2 π

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Déplacer

\frac{π}{4}

vers la droite

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Ajouter

\frac{π}{4}

aux deux côtés

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplifier

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplifier

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Additionner les éléments similaires :

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Simplifier

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + 2 π

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Grouper comme termes

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Combiner les fractions

\frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : 2 π

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 7 π}{4}

Additionner les éléments similaires :

π + 7 π = 8 π

= \frac{8 π}{4}

Diviser les nombres :

\frac{8}{4} = 2

= 2 π

= 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

2 πn + π :

Faux

2 πn + π

Insérer

n = 1

2 π 1 + π

Pour

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

insérer

x = 2 π 1 + π

4 sec (2 π 1 + π) + 4 tan (2 π 1 + π) = 4

Redéfinir

- 4 = 4

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

2 πn + \frac{3 π}{2} :

Faux

2 πn + \frac{3 π}{2}

Insérer

n = 1

2 π 1 + \frac{3 π}{2}

Pour

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

insérer

x = 2 π 1 + \frac{3 π}{2}

4 sec (2 π 1 + \frac{3 π}{2}) + 4 tan (2 π 1 + \frac{3 π}{2}) = 4

Ind \overset{e}{ˊ} fini

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

2 πn + 2 π :

vrai

2 πn + 2 π

Insérer

n = 1

2 π 1 + 2 π

Pour

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

insérer

x = 2 π 1 + 2 π

4 sec (2 π 1 + 2 π) + 4 tan (2 π 1 + 2 π) = 4

Redéfinir

4 = 4

\Rightarrow vrai

x = 2 πn + 2 π

Exemples populaires

8sin(2x)sin(x)=8cos(x)

8 sin (2 x) sin (x) = 8 cos (x)

cos(x)=-3/4

cos (x) = - \frac{3}{4}

2cos^2(x)+cos(x)-1=0,0<= x<= 2pi

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

arcsin(x)-arccos(-1/2)= pi/6

arcsin (x) - arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

tan^2(x)-tan(x)-2=0

tan^{2} (x) - tan (x) - 2 = 0