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sin(θ)-sqrt(3)cos(θ)=1

Solution

sin (θ) - 3 cos (θ) = 1

Solution

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Degrés

θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin (θ) - 3 cos (θ) = 1

Ajouter

3 cos (θ)

aux deux côtés

sin (θ) = 1 + 3 cos (θ)

Mettre les deux côtés au carré

sin^{2} (θ) = (1 + 3 cos (θ))^{2}

Soustraire

(1 + 3 cos (θ))^{2}

des deux côtés

sin^{2} (θ) - 1 - 23 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 1 + sin^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) 3

Utiliser l'identité hyperbolique:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - 3 cos^{2} (θ) - 23 cos (θ) - cos^{2} (θ)

Simplifier

= - 4 cos^{2} (θ) - 23 cos (θ)

- 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) 3 = 0

Résoudre par substitution

- 4 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) 3 = 0

Soit :

cos (θ) = u

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 23 u = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 4 u^{2} - 23 u = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 4, b = - 23, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0 = 23

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 23)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 0

(- 23)^{2} = 2^{2} \cdot 3

(- 23)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 23)^{2} = (23)^{2}

= (23)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 0 = 0

4 \cdot 4 \cdot 0

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

= 2^{2} \cdot 3 + 0

2^{2} \cdot 3 + 0 = 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux :

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= 3 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux :

en supposant

a \geq 0

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm 2 3}{2 ( - 4 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 + 2 3}{- 2 \cdot 4}

Additionner les éléments similaires :

23 + 23 = 43

= \frac{4 3}{- 2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 3}{- 8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 3}{8}

Annuler le facteur commun :

4

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )} : 0

\frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 - 2 3}{- 2 \cdot 4}

Additionner les éléments similaires :

23 - 23 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{0}{- 8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{8}

Appliquer la règle

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{3}{2}, u = 0

Remplacer

u = cos (θ)

cos (θ) = - \frac{3}{2}, cos (θ) = 0

cos (θ) = - \frac{3}{2}, cos (θ) = 0

cos (θ) = - \frac{3}{2} : θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3}{2}

Solutions générales pour

cos (θ) = - \frac{3}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Solutions générales pour

cos (θ) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

sin (θ) - 3 cos (θ) = 1

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{5 π}{6} + 2 πn :

Faux

\frac{5 π}{6} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{5 π}{6} + 2 π 1

Pour

sin (θ) - 3 cos (θ) = 1

insérer

θ = \frac{5 π}{6} + 2 π 1

sin (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) - 3 cos (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) = 1

Redéfinir

2 = 1

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

vrai

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Pour

sin (θ) - 3 cos (θ) = 1

insérer

θ = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

sin (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) - 3 cos (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = 1

Redéfinir

1 = 1

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{π}{2} + 2 πn :

vrai

\frac{π}{2} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Pour

sin (θ) - 3 cos (θ) = 1

insérer

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) - 3 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 1

Redéfinir

1 = 1

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Faux

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Pour

sin (θ) - 3 cos (θ) = 1

insérer

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) - 3 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1

Redéfinir

- 1 = 1

\Rightarrow Faux

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Exemples populaires

cos(a)= 1/2

cos (a) = \frac{1}{2}

cos^2(θ)= 3/4

cos^{2} (θ) = \frac{3}{4}

tan(θ)= 3/8

tan (θ) = \frac{3}{8}

9cos(x)+5=-cos(x)

9 cos (x) + 5 = - cos (x)

sin(x)-sin(2x)=0,0<= x<= 2pi

sin (x) - sin (2 x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π