intégrale de (2e^{2x})/(e^{2x)+10e^x+24}

Solution

\int \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 10 e ^{x} + 24} d x

ln 10 e^{x} + e^{2 x} + 24 + 5 ln ∣ e^{x} + 6 ∣ - 5 ln ∣ e^{x} + 4 ∣ + C

étapes des solutions

\int \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 10 e ^{x} + 24} d x

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 10 e ^{x} + 24} d x

Appliquer l'intégration par subsitution

: \int \frac{u}{u ^{2} + 10 u + 24} d u

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + 10 u + 24} d u

Compléter la carré

u^{2} + 10 u + 24 : (u + 5)^{2} - 1

= 2 \cdot \int \frac{u}{( u + 5 ) ^{2} - 1} d u

Appliquer l'intégration par subsitution

: \int \frac{v - 5}{v ^{2} - 1} d v

= 2 \cdot \int \frac{v - 5}{v ^{2} - 1} d v

Développer

\frac{v - 5}{v ^{2} - 1} : \frac{v}{v ^{2} - 1} - \frac{5}{v ^{2} - 1}

Appliquer la règle de la somme:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v - \int \frac{5}{v ^{2} - 1} d v)

\int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v = \frac{1}{2} ln v^{2} - 1

\int \frac{5}{v ^{2} - 1} d v = - 5 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)

= 2 (\frac{1}{2} ln v^{2} - 1 - (- 5 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)))

Rétrosubstituer

= 2 (\frac{1}{2} ln (e^{x} + 5)^{2} - 1 - (- 5 (\frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 5 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 5 - 1 ∣)))

Simplifier

2 (\frac{1}{2} ln (e^{x} + 5)^{2} - 1 - (- 5 (\frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 5 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 5 - 1 ∣))) : ln 10 e^{x} + e^{2 x} + 24 + 5 ln ∣ e^{x} + 6 ∣ - 5 ln ∣ e^{x} + 4 ∣

= ln 10 e^{x} + e^{2 x} + 24 + 5 ln ∣ e^{x} + 6 ∣ - 5 ln ∣ e^{x} + 4 ∣

Ajouter une constante à la solution

= ln 10 e^{x} + e^{2 x} + 24 + 5 ln ∣ e^{x} + 6 ∣ - 5 ln ∣ e^{x} + 4 ∣ + C

- \frac{5}{x ^{2}}

\int 3 cos (\frac{π t}{2}) d t

\int 4 sin (x) cos (x) d x

x \to 0 lim (\frac{( sin ^{3} ( 2 x ) )}{( sin ^{3} ( 3 x ) )})

\int sin (x) (x) d x